În geometria planei, noțiunea de simetric al unui punct este un concept important care se folosește pentru a descrie poziția unui punct față de o axă sau față de un punct fix. Simetria este un concept care implică o reflecție, o oglindire, astfel încât o figură sau un punct să fie în oglindă față de o anumită linie sau punct.
În acest articol, vom explora ce înseamnă simetricul unui punct și cum se aplică această noțiune în geometrie, explicând pașii esențiali și exemplele relevante.
Ce înseamnă simetricul unui punct?
Simetricul unui punct este un alt punct care se află la distanța egală față de un punct de referință sau o axă, dar pe direcția opusă. Practic, dacă ai un punct A și vrei să afli simetricul său față de un punct fix O sau față de o axă, simetricul punctului A va fi punctul care se află exact de cealaltă parte a punctului O (sau al axei), la aceeași distanță față de acesta.
Există două tipuri principale de simetrie:
- Simetria față de un punct (simetria centrală)
- Simetria față de o axă (simetria axială)
- Simetria față de un punct (simetria centrală)
În cazul simetriei față de un punct, simetricul unui punct A față de un punct fix O este punctul A’, care se află pe linia dreaptă care unește A și O, dar la aceeași distanță de O ca A, dar în direcția opusă. Astfel, punctul A’ este „oglinda” punctului A față de punctul O.
Cum se calculează simetricul unui punct față de un alt punct?
Pentru a calcula simetricul unui punct față de un punct fix O, urmezi acești pași:
- Determină coordonatele punctului A: presupunem că A(x₁, y₁).
- Determină coordonatele punctului de referință O: presupunem că O(x₀, y₀).
- Folosește formula pentru a obține coordonatele simetricului A’ față de O:
A′(x′,y′)=(2×0−x1,2y0−y1)A'(x’, y’) = (2x₀ – x₁, 2y₀ – y₁)A′(x′,y′)=(2×0−x1,2y0−y1)
Aceasta înseamnă că pentru a obține coordonatele simetricului A’, trebuie să iei de două ori coordonatele punctului O și să scazi coordonatele punctului A.
Exemplu:
Să presupunem că avem punctul A(4, 3) și punctul de referință O(1, 2). Vom aplica formula pentru a găsi simetricul punctului A față de punctul O:
A′(x′,y′)=(2⋅1−4,2⋅2−3)A'(x’, y’) = (2 \cdot 1 – 4, 2 \cdot 2 – 3)A′(x′,y′)=(2⋅1−4,2⋅2−3) A′(x′,y′)=(−2,1)A'(x’, y’) = (-2, 1)A′(x′,y′)=(−2,1)
Astfel, simetricul punctului A(4, 3) față de punctul O(1, 2) este A'(-2, 1).
- Simetria față de o axă (simetria axială)
Simetria față de o axă se referă la oglindirea unui punct față de o linie, cunoscută sub denumirea de axă de simetrie. Dacă un punct A este reflectat față de o axă l, atunci simetricul său, denumit A’, va fi pe cealaltă parte a axei, la aceeași distanță față de aceasta.
Cum se calculează simetricul unui punct față de o axă?
În funcție de axa de simetrie, formula pentru calcularea simetricului poate varia. Vom prezenta câteva cazuri comune:
- Simetria față de axa Ox (axa orizontală):
Dacă punctul A(x, y) este reflectat față de axa Ox, atunci simetricul său A’ va avea coordonatele A'(x, -y). Practic, doar coordonata pe axa verticală (y) va fi schimbată de semnul minus. - Simetria față de axa Oy (axa verticală):
Dacă punctul A(x, y) este reflectat față de axa Oy, atunci simetricul său A’ va avea coordonatele A'(-x, y). În acest caz, doar coordonata pe axa orizontală (x) va fi schimbată de semnul minus. - Simetria față de axa 45° (y = x):
Dacă un punct este reflectat față de axa 45° (y = x), coordonatele simetricului A’ vor fi obținute prin schimbarea valorilor coordonatelor x și y ale punctului A. Astfel, A'(y, x).
Exemplu:
- Simetria față de axa Ox:
Dacă avem punctul A(4, 3) și vrem să găsim simetricul său față de axa Ox, atunci simetricul va fi A'(4, -3). - Simetria față de axa Oy:
Dacă avem punctul A(4, 3) și vrem să găsim simetricul său față de axa Oy, atunci simetricul va fi A'(-4, 3). - Simetria față de axa 45°:
Dacă avem punctul A(4, 3) și vrem să găsim simetricul său față de axa 45° (y = x), atunci simetricul va fi A'(3, 4).
Concluzie
Simetricul unui punct este un concept fundamental în geometrie, care se referă la procesul de oglindire a unui punct față de un alt punct (simetria centrală) sau față de o axă (simetria axială). Simetricul unui punct poate fi calculat prin simple formule, care depind de tipul de simetrie aplicat. Înțelegerea acestui concept este esențială pentru rezolvarea problemelor geometrice, iar aplicațiile sale sunt foarte largi, de la geometria planei până la fizică, inginerie și design.
Sursa: https://www.redactez.ro/